Корреляции двух наклонённых измерений

Для состояния $|\psi\rangle_{AB}=(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B+|1\rangle_A\otimes|1\rangle_B)/\sqrt2$ проверьте:

(a)

$$\begin{aligned} &\Pr(\uparrow\nearrow)=\operatorname{tr}\bigl[|\psi\rangle\langle\psi|\\ &\qquad(|\uparrow\rangle_A\langle\uparrow|\otimes|\nearrow\rangle_B\langle\nearrow|)\bigr]\\ &=\frac12\cos^2\frac\theta2=\frac38. \end{aligned}$$

Здесь $\theta=\pi/3$, $|\nearrow\rangle$ — собственное состояние со значением $+1$ из задачи 1, а $|\uparrow\rangle=|0\rangle$ — собственное состояние $\sigma_Z$ со значением $+1$. Аналогично проверьте:

(b) $\Pr(\uparrow\swarrow)=\frac12\sin^2(\theta/2)=1/8$.

(c) $\Pr(\downarrow\nearrow)=1/8$.

(d) $\Pr(\downarrow\swarrow)=3/8$.

Здесь $\theta=\pi/3$, $|\swarrow\rangle$ — собственное состояние со значением $-1$ из задачи 1, а $|\downarrow\rangle=|1\rangle$ — собственное состояние $\sigma_Z$ со значением $-1$.

Определения из задачи 1 того же листка:

$$|\nearrow\rangle=\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2|1\rangle,\qquad |\swarrow\rangle=-\sin\frac\theta2|0\rangle+\cos\frac\theta2|1\rangle.$$