Сдвиг контура для гауссова пакета

Начальный гауссов пакет свободной одномерной частицы имеет вид
$$\Psi(x,0)=C\exp\left[-\frac{x^2}{4\sigma^2}+ik_0x\right],$$
$$C=(2\pi)^{-1/4}\sigma^{-1/2},\qquad\sigma>0.$$
При вычислении его фурье-амплитуды $a_k=(2\pi)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}\,dx$ дополнение до полного квадрата приводит к
$$q=k-k_0,\qquad b=2\sigma^2q,$$
$$I(b)=\int_{\mathbb R+ib}e^{-x'^2/(4\sigma^2)}\,dx',$$
$$a_k=\frac{C}{2\pi}e^{-\sigma^2q^2}I(b),$$
$$a_k=\frac{C\sigma}{\sqrt\pi}e^{-\sigma^2q^2}.$$
Докажите последнее равенство, хотя $x'$ имеет не зависящую от $x$ мнимую часть.

Указание: воспользуйтесь теоремой Коши об интеграле аналитической функции по замкнутому контуру.