Дираковские точки сотовой решётки

Завершите расчёт зонной структуры сотовой решётки в приближении сильной связи. В каждой элементарной ячейке два одинаковых узла, а каждый узел связан с тремя ближайшими соседями противоположной подрешётки. Расстояние до ближайшего соседа равно $a$, энергия локализованного состояния — $E_n$, энергия связи — $\delta_n>0$.

При осях рисунка векторы от узла первой подрешётки к соседям второй равны
$$\mathbf r_1=(0,-a),\quad \mathbf r_2=\frac a2(\sqrt3,1),\quad \mathbf r_3=\frac a2(-\sqrt3,1).$$
Блоховские амплитуды подрешёток $\alpha$, $\beta$ удовлетворяют
$$\begin{aligned}(E-E_n)\alpha&=-\delta_nF(\mathbf q)\beta,\\ (E-E_n)\beta&=-\delta_nF^*(\mathbf q)\alpha,\end{aligned}$$
где $F(\mathbf q)=\sum_{j=1}^3e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r_j}$.

Исследуйте результат. В частности, докажите, что дираковские точки $\mathbf q_D$ расположены в вершинах первой зоны Бриллюэна, и выразите скорость $v_n$ в законе
$$E_{\pm}\simeq E_n\pm\hbar v_n|\mathbf q-\mathbf q_D|$$
через энергию связи $\delta_n$.