Свойства функций Ванье

Исследуйте основные свойства функций Ванье, определённых равенством
$$\phi_{\mathbf R}(\mathbf r)=C\int_{\mathrm{BZ}} \psi_{\mathbf q}(\mathbf r)e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf R}\,d^3q.$$
Здесь $\psi_{\mathbf q}(\mathbf r)=u_{\mathbf q}(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}$ — блоховская волновая функция одной энергетической зоны, $u_{\mathbf q}$ периодична по решётке Браве, $\mathbf R$ — любой вектор этой решётки, $C$ — нормировочная постоянная. Интегрирование идёт по любой, например первой, зоне Бриллюэна.