Тождество Паули для координаты и импульса

Докажите операторное тождество
$$\begin{aligned}(\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf r}) (\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf p}) ={}&I(\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\mathbf p})\\ &+i\boldsymbol\sigma\cdot(\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}),\end{aligned}$$
где $\boldsymbol\sigma$ — вектор матриц Паули, $I$ — единичная матрица $2\times2$.

Подсказка. Координата и импульс действуют в пространстве орбитального движения, а матрицы Паули — в другом, спиновом пространстве. Поэтому они коммутируют с $\boldsymbol\sigma$, хотя сами $\hat{\mathbf r}$ и $\hat{\mathbf p}$ не коммутируют между собой.