Динамика спина в постоянном поле

Спин $1/2$ взаимодействует с постоянным внешним полем через гамильтониан
$$H=\mathbf c\cdot\boldsymbol\sigma =c_x\sigma_x+c_y\sigma_y+c_z\sigma_z,$$
где $c_x,c_y,c_z$ — вещественные постоянные, а $\sigma_j$ — матрицы Паули. При $t=0$ спин находится в состоянии $|\uparrow\rangle$, собственном состоянии $\sigma_z$ с собственным значением $+1$.

В представлении Шрёдингера найдите зависимости от времени:

(i) вектора состояния $|\alpha(t)\rangle$ в любом выбранном постоянном базисе;

(ii) вероятностей найти спин в состояниях $|\uparrow\rangle$, $|\downarrow\rangle$;

(iii) средних трёх декартовых компонент спина $\mathbf S=\hbar\boldsymbol\sigma/2$.

Исследуйте и объясните частный случай $c_y=c_z=0$. Подсказка: выберите удобный базис.