Развязка первого кубита последовательностью импульсов

Покажите, что оператор

$$\begin{aligned} U={}&e^{-i\pi(\sigma_X\otimes I)/2}e^{-iHt}\\ &\quad\cdot e^{-i\pi(\sigma_X\otimes I)/2}e^{-iHt} \end{aligned}$$

действует только на второй кубит, если

$$\begin{aligned} H=\frac12\bigl(&-\omega_1\sigma_Z\otimes I\\ &-\omega_2 I\otimes\sigma_Z\\ &+\gamma\sigma_Z\otimes\sigma_Z\bigr). \end{aligned}$$

Подсказка 1. Если $[H_1,H_2]=0$, то

$$e^{-i(H_1+H_2)t}=e^{-iH_1t}e^{-iH_2t}.$$

Подсказка 2. Сначала может быть полезно найти следующие операторы:

$$(\sigma_X\otimes I)e^{-i\omega t(\sigma_Z\otimes I)/2}(\sigma_X\otimes I),$$

$$(\sigma_X\otimes I)e^{-i\omega t(I\otimes\sigma_Z)/2}(\sigma_X\otimes I),$$

$$(\sigma_X\otimes I)e^{-i\omega t(\sigma_Z\otimes\sigma_Z)/2}(\sigma_X\otimes I).$$