Операторная алгебра гармонического осциллятора

Проверьте равенства:

(a) $[a,a^\dagger]=1$.

(b) $[a,a^\dagger a]=a$.

(c) $[a^\dagger,a^\dagger a]=-a^\dagger$.

(d) $H=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)$,

где

$$a=\frac{\omega x+ip}{\sqrt{2\hbar\omega}},\qquad H=\frac12(p^2+\omega^2x^2).$$ Как в задаче 1, $p=-i\hbar\partial/\partial x$.