Лестничные операторы и спектр осциллятора

Проверьте равенства

$$a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle,$$

$$a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle,$$

где

$$|n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle.$$

Покажите также, что $|n\rangle$ — собственное состояние $H$ с энергией $\hbar\omega(n+1/2)$.

Определения из задач 1–2:

$$p=-i\hbar\frac\partial{\partial x},\qquad a=\frac{\omega x+ip}{\sqrt{2\hbar\omega}},$$

$$H=\frac12(p^2+\omega^2x^2).$$ Основное состояние $|0\rangle$ удовлетворяет $a|0\rangle=0$, как в задаче 3.