Коммутирующие части гамильтониана осциллятора и спина

Покажите, что $[C,D]=[C,H]=[D,H]=0$, где

$$C=\omega(a^\dagger a+\sigma_Z/2),$$

$$D=\kappa(a^\dagger\sigma_-+a\sigma_+)-(\Delta\omega/2)\sigma_Z,$$

$$H=\hbar(C+D+\omega/2).$$

Напомним, что $\sigma_\pm=(\sigma_X\pm i\sigma_Y)/2$, то есть $\sigma_+=|0\rangle\langle1|$ и $\sigma_-=|1\rangle\langle0|$. Операторы $a,a^\dagger$ относятся к квантовому гармоническому осциллятору и удовлетворяют $[a,a^\dagger]=1$; они коммутируют с операторами спина.