Преобразование Фурье трёх связанных регистров

Пусть целое $N>5$. Рассмотрим состояние

$$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_{x=0}^{N-1}|\chi_x\rangle,$$

где

$$\begin{aligned} |\chi_x\rangle={}&|x\bmod N\rangle_A\\ &\otimes|3x\bmod N\rangle_B\\ &\otimes|5x\bmod N\rangle_C. \end{aligned}$$

Найдите состояние после квантового преобразования Фурье по модулю $N$ каждого из регистров $A,B,C$. Если соответствующие операторы обозначены $U_A,U_B,U_C$, требуется найти $(U_A\otimes U_B\otimes U_C)|\psi\rangle$.

Запишите ответ в базисе $|i\rangle_A|j\rangle_B|k\rangle_C$, где $0\le i,j,k<N$. Покажите, что все состояния в полученной суперпозиции равновероятны, и найдите эту вероятность. В официальном решении используется соглашение $U|r\rangle=N^{-1/2}\sum_{s=0}^{N-1}e^{2\pi irs/N}|s\rangle$.