Матрицы, схемы и повороты квантовых вентилей

В этой задаче повторяются квантовые вентили и схемы.

(a) Найдите нормированные собственные векторы матриц Паули $X,Y,Z$ и изобразите эти состояния точками на сфере Блоха.

(b) CNOT задаёт перестановку элементов произвольной двухкубитной матрицы плотности

$$\rho=\sum_{j,k\in\{00,01,10,11\}}c_{jk}|j\rangle\langle k|.$$

Явно запишите его действие на коэффициенты $c_{jk}$.

(c) Пусть $|\psi\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2$. Нарисуйте схему из управляемых фазовых вентилей и вентилей Адамара, которая получает $|\psi\rangle$ из входа $|00\rangle$.

(d) Постройте квантовую схему для получения состояния

$$\frac{(|000\rangle+|111\rangle)^{\otimes3}}{2\sqrt2}.$$

(e) Пусть $U$ — CNOT, а $X_i,Z_i$ — операторы Паули на кубите $i$. Найдите $UX_1U^\dagger$, $UX_2U^\dagger$, $UZ_1U^\dagger$ и $UZ_2U^\dagger$.

(f) Оператор $R_y(\theta)=\exp(-iY\theta/2)$ поворачивает кубит вокруг оси $\hat y$ на сфере Блоха; аналогично $R_x(\theta)=\exp(-iX\theta/2)$ задаёт поворот вокруг $\hat x$. Постройте $R_z(\theta)$ при произвольном $\theta$ из последовательности поворотов вокруг $\hat x$ и $\hat y$.