Операторные представления открытых квантовых систем
Взаимодействие квантовой системы с окружением можно описать квантовым преобразованием
$$\mathcal E(\rho)=\sum_k E_k\rho E_k^\dagger,$$
где операторы $E_k$ удовлетворяют условию $\sum_kE_k^\dagger E_k=I$. Это представление операторной суммы. Исследуем его физический смысл и несколько примеров из лекции.
(a) Если размерность $\rho$ равна $d$, достаточно не более $d^2$ операторов: $1\le k\le d^2$. Для доказательства используйте унитарную свободу представления: преобразования $\mathcal E$ и $\mathcal F$ совпадают тогда и только тогда, когда их операторы связаны соотношением $E_i=\sum_j u_{ij}F_j$ с унитарной матрицей $u$.
Пусть $\{E_j\}$ задаёт $\mathcal E$. Введите матрицу $W_{jk}=\operatorname{tr}(E_j^\dagger E_k)$. Докажите, что $W$ эрмитова, её ранг не превышает $d^2$, и потому существует унитарная $u$, для которой $uWu^\dagger$ диагональна и содержит не более $d^2$ ненулевых элементов. С помощью $u$ постройте новое представление $\mathcal E$ с не более чем $d^2$ ненулевыми операторами $F_j$.
(b) Фазовое затухание — важный механизм декогеренции. Оно задаётся операторами
$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\lambda}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&0\\0&\sqrt\lambda\end{pmatrix}$$
или эквивалентным набором
$$\widetilde E_0=\sqrt\alpha\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$
$$\widetilde E_1=\sqrt{1-\alpha}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$
где $\alpha=(1+\sqrt{1-\lambda})/2$. Этот факт лежал в основе предложенного Шором исправления квантовых ошибок.
Для произвольной однокубитной $\rho$ явно проверьте равенство
$$\sum_kE_k\rho E_k^\dagger=\sum_k\widetilde E_k\rho\widetilde E_k^\dagger.$$
Найдите унитарное преобразование между наборами: матрицу $u$, для которой $\widetilde E_k=\sum_j u_{kj}E_j$.
(c) Постройте операторы однокубитного преобразования $\mathcal E$, которое заменяет любое входное состояние $\rho$ полностью случайным состоянием $I/2$. Квантовые коды могут исправлять такую ошибку, действующую на один кубит, даже если шум полностью разрушает его состояние.