Двухкубитный код против амплитудного затухания

Амплитудное затухание описывает спонтанное излучение, неупругое рассеяние, установление теплового равновесия спинов с решёткой и другие микроскопические процессы обмена энергией между системой и окружением. Исследуем квантовый код, приспособленный к таким ошибкам.

Однокубитный канал амплитудного затухания имеет вид $\mathcal E(\rho)=\sum_kE_k\rho E_k^\dagger$, где

$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}.$$

Пусть $\gamma=1-e^{-t/T_1}$; здесь $t$ — время, $T_1$ — характерное время амплитудного затухания.

(a) Возьмём $|\psi_1\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$. После затухания матрица плотности равна

$$\rho_1=\sum_kE_k|\psi_1\rangle\langle\psi_1|E_k^\dagger.$$

Вычислите верность состояния — величину

$$F_1(t)=F(|\psi_1\rangle,\rho_1)=\sqrt{\langle\psi_1|\rho_1|\psi_1\rangle}$$

— и постройте её график в зависимости от $t$.

(b) Найдите состояние $|\phi(t)\rangle$, для которого верность после затухания минимальна в каждый момент времени. Постройте зависимость этого минимального значения от времени.

(c) Двухкубитный код $|0_L\rangle=|01\rangle$, $|1_L\rangle=|10\rangle$ кодирует один логический кубит двумя физическими. Пусть $|\psi\rangle=a|0_L\rangle+b|1_L\rangle$. Найдите состояние после независимого амплитудного затухания обоих физических кубитов:

$$\begin{aligned} \rho'={}&\sum_{j,k\in\{0,1\}}(E_j\otimes E_k)\\ &\quad\cdot|\psi\rangle\langle\psi|(E_j\otimes E_k)^\dagger. \end{aligned}$$

(d) Вычислите верность $F(|\psi\rangle,\rho')=\sqrt{\langle\psi|\rho'|\psi\rangle}$ относительно исходного состояния и постройте её график по времени для наихудшего состояния.

(e) Спроецируйте выходное состояние на подпространство, ортогональное $|00\rangle$, например измерением $Z\otimes Z$ для определения числа возбуждений в данном выходном состоянии. Оставьте только случаи, когда $|00\rangle$ не получено. Какое состояние останется? Как зависит от $t$ его верность относительно $|\psi\rangle$?

(f) Дополнительный пункт. Насколько хорошо девятикубитный код Шора исправляет ошибки амплитудного затухания? Пусть приведённые выше операторы действуют на каждый физический кубит. Вычислите верность декодированного состояния как функцию $\gamma$.

Определение девятикубитного кода из лекции 2, с.9:

$$|g_\pm\rangle=\frac{|000\rangle\pm|111\rangle}{\sqrt2},$$

$$|0_L^{(\mathrm{Shor})}\rangle=|g_+\rangle^{\otimes3},\qquad |1_L^{(\mathrm{Shor})}\rangle=|g_-\rangle^{\otimes3}.$$