Квантовые измерения в формализме стабилизаторов

Стабилизаторы описывают квантовые состояния и преобразования. Исследуйте в этом формализме измерение. Если состояние $n$ кубитов $|\psi\rangle$ стабилизируется группой $S=\langle g_1,g_2,\ldots,g_n\rangle$, то $g|\psi\rangle=|\psi\rangle$ для всех $g\in S$; операторы $g_j$ — образующие группы.

(a) Пусть оператор измерения $M$ на $n$ кубитах — произведение операторов Паули. Показанная схема измеряет $M$ на $|\psi\rangle$: исходы $k=0,1$ соответствуют собственным значениям $+1,-1$. Докажите: если $M$ коммутирует со всеми $g_j$, состояние после измерения по-прежнему стабилизируется $S$.

Если $M$ антикоммутирует с $g_1,\ldots,g_j$ и коммутирует с остальными образующими, докажите, что новое состояние стабилизируется группой, порождённой

$$(-1)^kM,\qquad g_1g_2,g_1g_3,\ldots,g_1g_j,$$

$$g_{j+1},g_{j+2},\ldots,g_n.$$

(b) Пусть $|\psi\rangle$ стабилизируется $\langle XX,ZZ\rangle$. Найдите стабилизатор после измерения $IY$.

(c) Начните с $|\psi\rangle\otimes|0\rangle$, где $|\psi\rangle$ — произвольное состояние одного кубита. Измерьте $Y\otimes X$, затем $I\otimes Y$. Какими операциями Паули после каждого измерения перевести полученное состояние в собственное подпространство с собственным значением $+1$ измеренного оператора?

(d) Вычислите действие этой последовательности, включая поправки Паули, на логические операторы $\overline X,\overline Z$ исходного состояния $|\psi\rangle\otimes|0\rangle$. Опишите итоговое действие через стандартные вентили.

(e) Что произойдёт при тех же двух измерениях, если вход равен $|\psi\rangle\otimes(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$?