Пассивное исправление ошибок и подпространства без декогеренции

При активном исправлении квантовых ошибок сначала обнаруживают ошибку, затем применяют исправляющую операцию. Здесь исследуется пассивное исправление с помощью подпространств, свободных от декогеренции, в формализме стабилизаторных кодов.

Напомним: если $S$ — стабилизатор кода $C$, то $V|\psi\rangle=|\psi\rangle$ для любых $V\in S$, $|\psi\rangle\in C$. Нормализатор $N(G)$ группы $G$ состоит из операторов $U$, для которых $UVU^\dagger\in G$ при любом $V\in G$.

Возьмём трёхкубитный код против инверсии битов $C_{\mathrm{bf}}$: $|0_L\rangle=|000\rangle$, $|1_L\rangle=|111\rangle$, $S=\langle ZZI,IZZ\rangle$.

(a) С помощью стабилизаторов покажите, что код исправляет ошибки $E_1=XII$, $E_2=IXI$, $E_3=IIX$.

(b) Теперь пусть $E_1=ZIZ$. Покажите, что она не меняет кодовое состояние: обнаружение и исправление не нужны. Подпространство свободно от декогеренции для ошибок $\{E_j\}$, если $E_j|\psi\rangle=c_j|\psi\rangle$, причём $c_j$ не зависит от $|\psi\rangle$.

(c) Докажите, что код $C$ обладает этим свойством, если все $E_i$ принадлежат его стабилизатору.

(d) Докажите, что не существует кода, в стабилизатор которого входят все однокубитные ошибки.

(e) Логическая инверсия $X_L$ меняет местами $|0_L\rangle$ и $|1_L\rangle$. Возьмём два набора вентилей:

$$A:\quad U_1=YYY,\quad U_2=ZZZ,$$

$$B:\quad U_1=ZYX,\quad U_2=YZI.$$

Покажите, что $U_2U_1$ и $U_1U_2$ реализуют $X_L$ с точностью до общей фазы.

(f) Пусть вместо идеальной последовательности действует $U_2E_1U_1$. В модели активного исправления покажите, что $E_1=XII$ обнаруживается и исправляется для обоих наборов.

Для $E_1=ZIZ$ проверьте пассивное исправление. Следуя поправке официального разбора, покажите, что в случае $B$ тоже появляется лишь безвредная общая фаза, а не неисправимая ошибка.

(g) Для общего кода и произвольной ошибки $E$ найдите условие на $U_1,U_2$, при котором $U_2EU_1$ исправляется методами квантовых кодов. Выразите его через стабилизаторы и нормализаторы.

(h) Для общего кода $C$, свободного от декогеренции для ошибок $\{E_j\}$, найдите условие на $U_1,U_2$, при котором это свойство сохраняется для всех $U_2E_jU_1$. Выразите его через стабилизаторы и нормализаторы.