Оценка порога отказоустойчивости кода Бэкона — Шора

Порог отказоустойчивости зависит от кода, процедуры исправления ошибок и схем операций над закодированными данными. У сложных процедур больше вариантов отказа, поэтому порог может ухудшаться. Хотя простые коды, например семикубитный код Стейна, привлекательны, другие коды способны упростить необходимые операции. Исследуйте модификацию девятикубитного кода Шора, предложенную Дэвидом Бэконом.

Код задан четырьмя образующими стабилизатора $g_1,\ldots,g_4$, операторами нормализатора $Z_1,X_1,\ldots,Z_4,X_4$ для четырёх служебных («калибровочных») кубитов и операторами $Z_5,X_5$ одного логического кубита. Состояния служебных кубитов не требуется сохранять как логические данные:

$$\begin{aligned} g_1&=XXXXXXIII,\\g_2&=IIIXXXXXX,\\g_3&=ZZIZZIZZI,\\g_4&=IZZIZZIZZ; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Z_1&=ZZIIIIIII,\\X_1&=XIIIIIXII,\\ Z_2&=IZZIIIIII,\\X_2&=IIXIIIIIX,\\ Z_3&=IIIZZIIII,\\X_3&=IIIXIIXII,\\ Z_4&=IIIIZZIII,\\X_4&=IIIIIXIIX. \end{aligned}$$

$$Z_5=ZZZZZZZZZ,\qquad X_5=XXXXXXXXX.$$

(a) Пренебрегая ошибками служебных кубитов, найдите набор одно- и двухкубитных ошибок, которые можно исправить или игнорировать. Их роль подобна подпространствам без декогеренции из задания 2.

(b) Нарисуйте отказоустойчивые схемы логических $X,Z,H,S$ на одном закодированном кубите и логического CNOT на двух закодированных кубитах. Процедуру исправления ошибок можно считать готовым блоком. Однако один отказ не должен распространяться в недопустимо большое число ошибок внутри какого-либо кодового блока.

(c) Прямая процедура исправления измеряет образующие стабилизатора, расшифровывает синдром и выполняет восстановление. Предположим, доступны вспомогательные состояния-коты $(|00\cdots0\rangle+|11\cdots1\rangle)/\sqrt2$ любого размера $n$. Нарисуйте схему отказоустойчивого исправления с их помощью.

(d) Оцените число способов, которыми отказы компонентов могут нарушить исправление. В каждом вспомогательном состоянии допускается одна ошибка кубита; точный подсчёт не требуется. Обратная этому числу величина ограничивает порог отказоустойчивости. Более реалистичная оценка учитывала бы также отказы закодированных вентилей.

(e) Можно ли предложить более простую процедуру исправления и получить лучший порог? Подумайте об этом, но не тратьте слишком много времени, если вам нужно заниматься исследованием.