Вентиль Фредкина через квантовую телепортацию

Отказоустойчивая реализация вентиля $\pi/8$, рассмотренная на лекции, использует вспомогательное состояние $|\chi\rangle$, измерения в базисе Белла — CNOT, Адамар и однокубитное проективное измерение — и поправки Паули. Аналогичная конструкция реализует отказоустойчивый квантовый вентиль Фредкина, дополняющий универсальный набор вентилей.

(a) Первый кубит вентиля Фредкина $U_F$ — управляющий, два остальных — целевые. Его действие полностью задано правилом

$$U_F|0bc\rangle=|0bc\rangle,\qquad U_F|1bc\rangle=|1cb\rangle.$$

Докажите вычислительную универсальность набора $\{H,\mathrm{CNOT},U_F\}$: он позволяет с произвольной точностью симулировать любой унитарный квантовый процесс.

Используется соглашение Ши о вещественной симуляции: один дополнительный кубит хранит вещественную и мнимую части состояния. Для $U=A+iB$ действует представление

$$\widetilde U=\begin{pmatrix}A&-B\\B&A\end{pmatrix},$$

Оно сохраняет вероятности измерения исходного регистра, как описано у Ааронов, определение 1. Требуется универсальная симуляция комплексных схем, а не плотность вещественных матриц среди комплексных.

(b) Найдите сопряжения $U_g=U_FgU_F^\dagger$ для

$$\begin{gathered} g\in\{IIX,IXI,IXX\}\\ \cup\{XII,XIX,XXI,XXX\}. \end{gathered}$$

и аналогично при замене $X$ на $Z$. Выразите каждое через известные вентили группы Клиффорда. Эта группа порождается $H,S,\mathrm{CNOT}$ и, по теореме Готтесмана — Книлла, не является универсальным набором квантовых вентилей.

(c) Вспомогательное шестикубитное состояние равно

$$|\chi\rangle=\frac1{\sqrt8}\sum_{x=0}^7|x\rangle\otimes U_F|x\rangle.$$

Оно получается действием Фредкина на по одному кубиту каждой из трёх EPR-пар. Подайте его в три схемы телепортации. Используя(b), задайте 64 ветви классически управляемых поправок по шести битам исходов трёх измерений Белла, чтобы произвольное $|\psi\rangle$ переходило в $U_F|\psi\rangle$ с точностью до общей фазы.