Число Шмидта и запутанность чистого состояния

Как определить, запутано ли чистое состояние составной системы, и оценить его запутанность? Рассмотрите число Шмидта и его неизменность при локальных унитарных операциях и классической передаче сообщений.

(a) Разложение Шмидта чистого состояния систем $A,B$ имеет вид

$$|\psi\rangle=\sum_k\lambda_k|k_A\rangle|k_B\rangle,$$

где оба набора состояний ортонормированы, $\sum_k\lambda_k^2=1$. Число Шмидта — количество ненулевых $\lambda_k$. Докажите, что состояние является произведением $|\psi_A\rangle|\psi_B\rangle$ тогда и только тогда, когда его число Шмидта равно 1.

(b) Докажите, что локальные унитарные преобразования и классическая передача сообщений не меняют число Шмидта. Оно служит одной из мер запутанности.

(c) Найдите числа Шмидта состояний

$$|\phi_1\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle+|22\rangle}{\sqrt3},$$

$$|\phi_2\rangle=\frac{|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle}{2},$$

$$|\phi_3\rangle=\frac{|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle}{2},$$

$$|\phi_4\rangle=\frac{|00\rangle+|01\rangle+|11\rangle}{\sqrt3}.$$