Оценка расстояния произведений состояний

Для матриц плотности $\rho_1,\rho_2,\sigma_1,\sigma_2$ покажите

$$\begin{aligned}&\|\rho_1\otimes\rho_2-\sigma_1\otimes\sigma_2\|_1\\\le{}&\|\rho_1-\sigma_1\|_1+\|\rho_2-\sigma_2\|_1.\end{aligned}$$

Подсказка: сначала докажите $\|\rho\otimes\omega-\sigma\otimes\omega\|_1=\|\rho-\sigma\|_1$ для любых матриц плотности $\rho,\sigma,\omega$.

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.