Положительная и отрицательная части разности двух кубитов

Пусть $\rho=|0\rangle\langle0|$, $\sigma=|+\rangle\langle+|$, где $|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$. Для спектрального разложения $\rho-\sigma=\sum_i\lambda_i|i\rangle\langle i|$ определим

$$P=\sum_{\lambda_i\ge0}\lambda_i|i\rangle\langle i|,$$

$$Q=\sum_{\lambda_i<0}|\lambda_i||i\rangle\langle i|,$$

$$\Pi_P=\sum_{\lambda_i\ge0}|i\rangle\langle i|,$$

$$\Pi_Q=\sum_{\lambda_i<0}|i\rangle\langle i|.$$

Вычислите $P,Q,\Pi_P,\Pi_Q$ и $\|\rho-\sigma\|_1$.

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.