Квантовый канал не увеличивает следовое расстояние

Пусть $\rho,\sigma$ — матрицы плотности на $A$, а $\mathcal N:A\to B$ — квантовый канал, то есть полностью положительное отображение, сохраняющее след. Докажите

$$\|\mathcal N(\rho)-\mathcal N(\sigma)\|_1\le\|\rho-\sigma\|_1.$$

Подсказка: используйте изометрическое расширение канала и поведение расстояния при частичном следе.

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.