Измерение,достигающее следового расстояния

Для матриц плотности $\rho,\sigma$ докажите

$$\|\rho-\sigma\|_1=\max_{\{\Lambda_x\}}\sum_x|p_x-q_x|,$$

где $p_x=\operatorname{Tr}(\Lambda_x\rho)$, $q_x=\operatorname{Tr}(\Lambda_x\sigma)$, а максимум берётся по всем обобщённым измерениям $\Lambda_x\ge0$, $\sum_x\Lambda_x=I$. Подсказка: сначала примените монотонность расстояния к каналу измерения. Затем постройте двухисходное измерение по неотрицательному и отрицательному спектральным подпространствам $\rho-\sigma$, присоединив нулевые собственные значения к первому исходу.

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.