Сильная выпуклость следового расстояния

Для двух ансамблей $\{p(x),\rho_x\}$ и $\{q(x),\sigma_x\}$ с матрицами плотности на одном пространстве покажите

$$\begin{aligned}&\left\|\sum_xp(x)\rho_x-\sum_xq(x)\sigma_x\right\|_1\\\le{}&\sum_x|p(x)-q(x)|\\&+\sum_xp(x)\|\rho_x-\sigma_x\|_1.\end{aligned}$$

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.