Алмазная норма разности каналов замены

Пусть каналы заменяют любой вход заданными состояниями:

$$\mathcal N(T_A)=\operatorname{Tr}(T_A)\rho_B,$$

$$\mathcal M(T_A)=\operatorname{Tr}(T_A)\sigma_B.$$

Покажите $\|\mathcal N-\mathcal M\|_\diamond=\|\rho_B-\sigma_B\|_1$. Для разности $\Delta=\mathcal N-\mathcal M$ алмазная норма характеризуется максимумом

$$\|\Delta\|_\diamond=\max_{\omega_{RA}}\|(\operatorname{id}_R\otimes\Delta)(\omega_{RA})\|_1,$$

где $\omega_{RA}$ — матрица плотности и достаточно $\dim R=\dim A$.

Следовая норма определена как $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$. Здесь сохраняется соглашение книги: следовое расстояние состояний — $\|\rho-\sigma\|_1$, без множителя $1/2$.