Совпадение чистых состояний и распределений

В ортонормированном базисе $\{|x\rangle\}$ заданы нормированные состояния

$$|\psi\rangle=\sum_x\sqrt{p(x)}|x\rangle,$$

$$|\phi\rangle=\sum_x\sqrt{q(x)}|x\rangle,$$

где $p,q$ — распределения. Покажите, что точность совпадения этих чистых состояний равна классической точности распределений:

$$F(\psi,\phi)=\left(\sum_x\sqrt{p(x)q(x)}\right)^2.$$

Для чистых состояний $F(\psi,\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2$.

В книге точность совпадения состояний определена как $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$, то есть квадрат следовой нормы произведения положительных квадратных корней. Следовая норма $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$.