Точность совпадения с чистым состоянием

Покажите, что определение $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$ сводится к

$$F(\psi,\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2$$

для двух чистых состояний и к

$$F(\phi,\rho)=\langle\phi|\rho|\phi\rangle$$

для одного чистого и одного смешанного. Чистый вектор в аргументе обозначает его матрицу-проектор.

В книге точность совпадения состояний определена как $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$, то есть квадрат следовой нормы произведения положительных квадратных корней. Следовая норма $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$.