Точность совпадения состояний с классическими метками

Для распределений $p,q$, ортонормированного базиса $|x\rangle_X$ и матриц плотности $\omega_x,\tau_x$ определим

$$\omega_{XB}=\sum_xp(x)|x\rangle\langle x|\otimes\omega_x,$$

$$\tau_{XB}=\sum_xq(x)|x\rangle\langle x|\otimes\tau_x.$$

Докажите

$$\begin{aligned}&\sqrt{F(\omega_{XB},\tau_{XB})}\\={}&\sum_x\sqrt{p(x)q(x)}\sqrt{F(\omega_x,\tau_x)}.\end{aligned}$$

В книге точность совпадения состояний определена как $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$, то есть квадрат следовой нормы произведения положительных квадратных корней. Следовая норма $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$.