Когерентное щадящее измерение

Для матриц плотности $\rho_A^k$ и обобщённого измерения $\{\Lambda_A^k\}$ известно $\operatorname{Tr}(\Lambda_A^k\rho_A^k)\ge1-\varepsilon$ при каждом $k$, где $0\le\varepsilon\le1$. Пусть $|\phi^k\rangle_{RA}$ очищает $\rho_A^k$ и $\phi^k=|\phi^k\rangle\langle\phi^k|$.

Покажите существование когерентного измерения $\mathcal D:A\to A\otimes K$, для которого

$$\omega^k=(\operatorname{id}_R\otimes\mathcal D)(\phi^k),$$

$$\|\omega^k-\phi^k\otimes|k\rangle\langle k|_K\|_1\le2\sqrt{\varepsilon(2-\varepsilon)}.$$

Подсказка: когерентное измерение можно задать изометрией $U=\sum_j\sqrt{\Lambda_A^j}\otimes|j\rangle_K$; её перекрытие с целевым очищением не меньше $1-\varepsilon$.

В книге точность совпадения состояний определена как $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$, то есть квадрат следовой нормы произведения положительных квадратных корней. Следовая норма $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$.