Средняя и запутанная точности деполяризующего канала

Для деполяризующего канала на системе размерности $d$,

$$\mathcal N_p(\rho)=(1-p)\rho+pI/d, 0\le p\le1,$$

докажите

$$\overline F(\mathcal N_p)=\frac{dF_e(I/d,\mathcal N_p)+1}{d+1}.$$

Здесь $\overline F$ — среднее $\langle\psi|\mathcal N_p(|\psi\rangle\langle\psi|)|\psi\rangle$ по равномерной унитарно-инвариантной мере Хаара на чистых состояниях. Величина $F_e(I/d,\mathcal N_p)$ — перекрытие максимально запутанной пары $|\Phi\rangle=d^{-1/2}\sum_j|jj\rangle$ с её выходом после канала на одной половине.

В книге точность совпадения состояний определена как $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1^2$, то есть квадрат следовой нормы произведения положительных квадратных корней. Следовая норма $\|T\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{T^\dagger T}$.