Почему расстояние Гильберта—Шмидта не измеряет различимость

Пусть

$$A=|01\rangle\langle00|+|11\rangle\langle10|,$$

$$B=|01\rangle\langle01|+|11\rangle\langle11|,$$

и $\mathcal N(T)=ATA^\dagger+BTB^\dagger$. Возьмём $\rho=|0\rangle\langle0|\otimes I/2$, $\sigma=|1\rangle\langle1|\otimes I/2$. Сначала проверьте, что $\mathcal N$ — квантовый канал, затем явно покажите

$$\|\rho-\sigma\|_2<\|\mathcal N(\rho)-\mathcal N(\sigma)\|_2.$$

Во втором примере $\rho=|0\rangle\langle0|$, $\sigma=|1\rangle\langle1|$, $\mathcal N(T)=(T+XTX)/2$, где $X$ — матрица Паули. Покажите противоположное строгое неравенство. Здесь $\|T\|_2=\sqrt{\operatorname{Tr}(T^\dagger T)}$.