Энтропия фон Неймана через собственные значения

Матрица плотности имеет спектральное разложение

$$\rho_A=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_A.$$

Покажите, что $H(A)_\rho$ совпадает с энтропией Шеннона распределения собственных значений, $H(X)=-\sum_xp_X(x)\log_2p_X(x)$.

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.