Когерентная информация при известной классической метке

Пусть

$$\sigma_{XAB}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\sigma_{AB}^x,$$

где $p_X$ — распределение, $|x\rangle$ — ортонормированный базис, а $\sigma_{AB}^x$ — матрицы плотности. Покажите

$$I(A\rangle BX)_\sigma=\sum_xp_X(x)I(A\rangle B)_{\sigma^x}.$$

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.

Когерентная информация определена как $I(A\rangle B)=H(B)-H(AB)=-H(A|B)$.