Размерностная граница квантовой взаимной информации

Для произвольного состояния $\rho_{AB}$ на пространствах размерности $d_A,d_B$ докажите

$$I(A;B)_\rho\le2\log_2\min(d_A,d_B).$$

Приведите состояние, достигающее границы.

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.

Квантовая взаимная информация определена как $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.