Энтропия и когерентная информация через две корреляции

Для чистого состояния $|\phi\rangle_{ABE}$ разложение Шмидта по $A:BE$ имеет вид

$$|\phi\rangle_{ABE}=\sum_x\sqrt{p_X(x)}|x\rangle_A|\phi_x\rangle_{BE},$$

где оба набора ортонормированы. Докажите

$$I(A\rangle B)_\phi=\tfrac12I(A;B)_\phi-\tfrac12I(A;E)_\phi,$$

$$H(A)_\phi=\tfrac12I(A;B)_\phi+\tfrac12I(A;E)_\phi.$$

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.

Когерентная информация определена как $I(A\rangle B)=H(B)-H(AB)=-H(A|B)$.

Квантовая взаимная информация определена как $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.