Когерентная информация и приватная информация

Пусть чистое состояние имеет разложение Шмидта

$$|\phi\rangle_{ABE}=\sum_x\sqrt{p_X(x)}|x\rangle_A|\phi_x\rangle_{BE}.$$

Измерение $A$ в базисе $|x\rangle$ даёт классически-квантовое состояние

$$\overline\phi_{XBE}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes|\phi_x\rangle\langle\phi_x|_{BE}.$$

Докажите $I(A\rangle B)_\phi=I(X;B)_{\overline\phi}-I(X;E)_{\overline\phi}$. Правая часть называется приватной информацией: она сравнивает корреляции индекса $X$ с выходом Боба и окружением Евы.

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.

Когерентная информация определена как $I(A\rangle B)=H(B)-H(AB)=-H(A|B)$.

Квантовая взаимная информация определена как $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.