Размерностная граница информации Холево

Для классически-квантового состояния

$$\sigma_{XB}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\sigma_B^x$$

на пространствах размерности $d_X,d_B$ докажите

$$I(X;B)_\sigma\le\log_2\min(d_X,d_B).$$

Приведите пример, достигающий равенства.

Квантовая энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по локальной матрице плотности; $0\log_2 0=0$. Все логарифмы имеют основание 2.

Квантовая взаимная информация определена как $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.