Классическое условие и средняя квантовая корреляция

Пусть

$$\sigma_{XAB}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\sigma_{AB}^x,$$

где метки $|x\rangle$ ортонормированы. Докажите

$$I(A;B|X)_\sigma=\sum_xp_X(x)I(A;B)_{\sigma^x}.$$

Используя неотрицательность обычной квантовой взаимной информации, заключите, что условная взаимная информация в этом случае неотрицательна.

Энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ относится к редуцированному состоянию, $0\log_2 0=0$. Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Условная квантовая взаимная информация определена как

$$I(A;B|C)=H(AC)+H(BC)-H(C)-H(ABC).$$

Обычная взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.