Вогнутость условной квантовой энтропии

Пусть $\rho_{AB}=\sum_xp_X(x)\rho_{AB}^x$, где $p_X$ — распределение, а все $\rho_{AB}^x$ — матрицы плотности. Выведите из сильной субаддитивности:

$$\sum_xp_X(x)H(A|B)_{\rho^x}\le H(A|B)_\rho.$$

Энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ относится к редуцированному состоянию, $0\log_2 0=0$. Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Условная квантовая взаимная информация определена как

$$I(A;B|C)=H(AC)+H(BC)-H(C)-H(ABC).$$

Обычная взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.