Энтропийная форма сильной субаддитивности

Функция множеств называется сильно субаддитивной, если

$$\varphi(E)+\varphi(F)\ge\varphi(E\cap F)+\varphi(E\cup F).$$

Для квантового состояния $\rho_{ABC}$ покажите эквивалентность $I(A;B|C)_\rho\ge0$ и

$$H(AC)_\rho+H(BC)_\rho\ge H(C)_\rho+H(ABC)_\rho.$$

Это соответствует энтропийной функции при $E=AC,F=BC$.

Энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ относится к редуцированному состоянию, $0\log_2 0=0$. Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Условная квантовая взаимная информация определена как

$$I(A;B|C)=H(AC)+H(BC)-H(C)-H(ABC).$$

Обычная взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.