Размерностные границы условной взаимной информации

Для произвольной матрицы плотности $\rho_{ABC}$ на пространствах размерности $d_A,d_B,d_C$ докажите

$$I(A;B|C)_\rho\le2\log_2\min(d_A,d_B).$$

Для классически-квантово-квантового состояния

$$\sigma_{XBC}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\sigma_{BC}^x$$

с ортонормированными метками $X$ дополнительно докажите $I(X;B|C)_\sigma\le\log_2d_X$.

Энтропия $H(A)_\rho=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ относится к редуцированному состоянию, $0\log_2 0=0$. Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Условная квантовая взаимная информация определена как

$$I(A;B|C)=H(AC)+H(BC)-H(C)-H(ABC).$$

Обычная взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.