Взаимная информация как минимум относительной энтропии

Для двусоставного состояния $\rho_{AB}$ докажите

$$\begin{aligned}I(A;B)_\rho&=D(\rho_{AB}\Vert\rho_A\otimes\rho_B)\\&=\min_{\sigma_B}D(\rho_{AB}\Vert\rho_A\otimes\sigma_B)\\&=\min_{\omega_A}D(\rho_{AB}\Vert\omega_A\otimes\rho_B)\\&=\min_{\omega_A,\sigma_B}D(\rho_{AB}\Vert\omega_A\otimes\sigma_B).\end{aligned}$$

Минимумы берутся по матрицам плотности соответствующих систем. Здесь $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.