Когерентная и условная энтропии через относительную

Для матрицы плотности $\rho_{AB}$ докажите

$$\begin{aligned}I(A\rangle B)_\rho&=D(\rho_{AB}\Vert I_A\otimes\rho_B)\\&=\min_{\sigma_B}D(\rho_{AB}\Vert I_A\otimes\sigma_B),\end{aligned}$$

где $\sigma_B$ — матрица плотности. Эквивалентно, покажите

$$\begin{aligned}H(A|B)_\rho&=-D(\rho_{AB}\Vert I_A\otimes\rho_B)\\&=-\min_{\sigma_B}D(\rho_{AB}\Vert I_A\otimes\sigma_B).\end{aligned}$$

Здесь $I(A\rangle B)=H(B)-H(AB)=-H(A|B)$.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.