Условная взаимная информация через экспоненту маргиналов

Для состояния $\rho_{ABC}$ определим положительный оператор

$$\omega_{ABC}=2^{\log_2\rho_{AC}+\log_2\rho_{BC}-\log_2\rho_C}.$$

Единичные множители на недостающих системах подразумеваются. По принятому в книге определению функции эрмитова оператора слагаемые с собственными значениями вне области функции пропускаются: нулевой спектр не даёт слагаемых в операторный логарифм. Оператор $\omega$ здесь не обязан иметь единичный след. Докажите

$$I(A;B|C)_\rho=D(\rho_{ABC}\Vert\omega_{ABC}),$$

где $I(A;B|C)=H(AC)+H(BC)-H(C)-H(ABC)$.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.