Аддитивность квантовой относительной энтропии

Пусть $\rho_1,\rho_2$ — матрицы плотности на $\mathcal H_1,\mathcal H_2$, а $\sigma_1,\sigma_2$ — положительные полуопределённые операторы на соответствующих пространствах. Покажите

$$\begin{aligned}&D(\rho_1\otimes\rho_2\Vert\sigma_1\otimes\sigma_2)\\={}&D(\rho_1\Vert\sigma_1)+D(\rho_2\Vert\sigma_2).\end{aligned}$$

Выведите по индукции $D(\rho^{\otimes n}\Vert\sigma^{\otimes n})=nD(\rho\Vert\sigma)$ для целого $n\ge1$.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.