Относительная энтропия состояний с классическими метками

Пусть

$$\rho_{XB}=\sum_xp(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\rho_B^x,$$

$$\sigma_{XB}=\sum_xq(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\sigma_B^x,$$

где $p,q$ — распределения, $|x\rangle$ — ортонормированный базис, $\rho_B^x$ — матрицы плотности, а $\sigma_B^x\ge0$ не обязательно нормированы. Покажите

$$D(\rho_{XB}\Vert\sigma_{XB})=D(p\Vert q)+\sum_xp(x)D(\rho_B^x\Vert\sigma_B^x).$$

Здесь $D(p\Vert q)=\sum_xp(x)\log_2[p(x)/q(x)]$; слагаемые с $p(x)=0$ опускаются, а несовместимые опоры дают $+\infty$.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.