Масштабирование аргументов относительной энтропии

Для $a,b>0$, матрицы плотности $\rho$ и положительного полуопределённого $\sigma$ покажите

$$D(a\rho\Vert b\sigma)=a[D(\rho\Vert\sigma)+\log_2(a/b)].$$

В первом аргументе здесь допускается ненормированный положительный оператор с тем же следовым определением относительной энтропии.

Относительная энтропия $D(P\Vert Q)=\operatorname{Tr}[P(\log_2P-\log_2Q)]$ вычисляется, если опора $P$ содержится в опоре $Q$; иначе значение $+\infty$. Опора — подпространство ненулевых собственных значений. При ненормированном положительном $P$ используется та же формула. Энтропия состояния $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$.