Энтропия ансамбля и энтропия среднего квантового состояния

Дан ансамбль чистых нормированных состояний $\{p_X(x),|\psi_x\rangle\}$ со средним

$$\rho=\sum_xp_X(x)|\psi_x\rangle\langle\psi_x|.$$

Используя квантовое неравенство обработки данных, покажите $H(X)\ge H(\rho)$, где $H(X)=-\sum_xp_X(x)\log_2p_X(x)$. Подсказка: начните с общей классической случайности $\sum_xp_X(x)|x,x\rangle\langle x,x|$ и примените канал приготовления ко второй системе. Заключите, что неравенство строго, если среди состояний с ненулевыми вероятностями есть неортогональная пара.

Все логарифмы имеют основание 2. Энтропия $H(A)=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по редуцированной матрице плотности; нулевые собственные значения дают 0.

Взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.