Неотрицательная условная энтропия классического регистра

Пусть

$$\rho_{XB}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\rho_B^x$$

— классически-квантовое состояние с ортонормированными метками. Используя приготовление квантовых состояний из общей классической случайности, покажите $H(X|B)_\rho\ge0$. Дополнительно покажите эквивалентность этой границы двум формам:

$$H(B)_\rho\le H(X)_\rho+H(B|X)_\rho,$$

$$I(X;B)_\rho\le H(X)_\rho.$$

Все логарифмы имеют основание 2. Энтропия $H(A)=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по редуцированной матрице плотности; нулевые собственные значения дают 0.

Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.