От двух окружений к неопределённости с квантовой памятью

Алиса и Боб имеют $\rho_{AB}$ с очищением $|\phi\rangle_{ABE}$. Измерение $\{\Lambda_A^x\}$ даёт состояние результатов $\sigma_{XB}$, а измерение $\{\Gamma_A^z\}$ — $\tau_{ZB}$ и $\omega_{ZE}$ после отбрасывания другой стороны. Предположим уже доказанной границу

$$H(X|B)_\sigma+H(Z|E)_\omega\ge\log_2(1/c).$$

Покажите, что из неё следует соотношение неопределённостей с квантовой памятью:

$$H(X|B)_\sigma+H(Z|B)_\tau\ge\log_2(1/c)+H(A|B)_\rho.$$

Без ограничения общности можно считать, что элементы $\Gamma_A^z$ имеют ранг 1; иначе поменяйте названия измерений. Например, $\tau_{ZB}=\sum_z|z\rangle\langle z|\otimes\operatorname{Tr}_A[(\Gamma_A^z\otimes I_B)\rho_{AB}]$, аналогично определяются остальные состояния результатов.

Все логарифмы имеют основание 2. Энтропия $H(A)=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по редуцированной матрице плотности; нулевые собственные значения дают 0.

Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Измерения заданы положительными эффектами $\{\Lambda_A^x\},\{\Gamma_A^z\}$, каждый набор суммируется в $I_A$; хотя бы один набор состоит из элементов ранга 1. Несовместимость измерений задана

$$c=\max_{x,z}\|\sqrt{\Lambda_A^x}\sqrt{\Gamma_A^z}\|_\infty^2,$$

где $\|T\|_\infty$ — наибольшее сингулярное число. Метки результатов $X,Z$ — классические ортонормированные регистры.